Co oznacza wykrzyknik w matematyce?

6 kwietnia 2017 | Szkoła ponadgimnazjalna, Szkoła ponadgimnazjalna, klasa 3

W prosty sposób postaram się wyjaśnić, co oznacza ten symbol i jakie ma zastosowanie w matematyce.

Silnia.

Otóż, symbol wykrzyknika nazywany jest w matematyce silnią i definiuje się go w następujący sposób:

Silnia2

Za n możemy podstawiać dowolną liczbę naturalną, większą lub równą 1. Może to być liczba: 1, 2, 3, 4, itd.

przyklady

Zauważmy, że mnożenie zawsze zaczynamy od 1 a ostatnią liczbą w ciągu mnożeń jest liczba, którą podstawialiśmy do wzoru za n.

przyklady2

W ten oto sposób 2 silnia to 2, 3 silnia to 6, 4 silnia to 24 a 8 silnia wynosi aż 40320.

Uwaga! Jest jeden wyjątek.

Istnieje silnia z liczby zero i wynosi ona 1.

zero

Gdzie stosuje się operator silni?

Najbardziej znanym zastosowaniem, jest tzw. permutacja bez powtórzeń. Są to zadania typu – na ile sposobów można ustawić 6 książek na półce.

Mamy następujące książki: baśnie, opowiadania, legendy, wierszyki, tomiki poezji, historyjki.

KSIĄŻKI OPISANE
Jako pierwsze mogą stać historyjki, drugie mogą być baśnie, potem opowiadania, legendy, wierszyki a na końcu tomiki poezji.
Z kolei innym ułożeniem jest, gdy jako pierwsze stoją tomiki poezji, potem baśnie, opowiadania, legendy, wierszyki, historyjki.
Itd.

Przestawienie.2jpg

Przy takiej ilości książek, ciężko jest narysować wszystkie możliwe sposoby ustawienia. By policzyć, ile dokładnie tych sposobów jest, można użyć właśnie wzoru n!.
Ponieważ mamy 6 książek, sposobów ustawienia ich na półce jest 6!, czyli 720.

6 silnia

O czym należy pamiętać?

Pod koniec bardzo ważna rzecz. By móc zastosować w ten sposób operator silnia, wzór na permutację bez powtórzeń, muszą być spełnione trzy warunki:

  • elementy nie mogą się powtarzać – w naszym przykładzie nie było dwóch identycznych książek;
  • ważna jest kolejność – jest to inne ułożenie, gdy baśnie stoją na półce jako pierwsze a inne, gdy jako drugie;
  • wykorzystujemy wszystkie elementy  – wszystkie książki znajdowały się na półce.

Czy są jeszcze jakieś inne zastosowania?

Silnia stosowana jest w podstawowych wzorach wyznaczających prawdopodobieństwo zdarzeń, takich jak: permutacje z powtórzeniami (gdy kolejność jest istotna, ale elementy się powtarzają), a także w kombinacjach z powtórzeniami i bez powtórzeń (kolejność nie ma znaczenia, wybieramy kilka elementów z większej grupy – w naszym przykładzie nie wszystkie książki znalazłyby się na półce) oraz wariacjach z powtórzeniami i bez powtórzeń (podobnie jak w kombinacjach wybieramy kilka elementów z większej grupy, jednak kolejność ma tutaj znaczenie).
Operator silni wykorzystywany jest także w wielu innych dziedzinach matematyki, w analizie matematycznej, czy w geometrii n-wymiarowej.

Zobacz także

Komentarze

comments