Bohaterka dzisiejszego dnia (14 marca) – liczba π (pi). Cóż takiego jest w niej niezwykłego, że doczekała się własnego święta, hobbyści wyliczają jej rozwinięcie dziesiętne do bilionów miejsc po przecinku, poeci piszą o niej wiersze a naukowcy wysyłają informację o niej w kosmos?                                                                            

Chyba wszyscy pamiętamy lekcje matematyki, na których liczyliśmy pole i obwód koła, objętości brył obrotowych czy też zmagania z sinusami i cosinusami. Nieustannie towarzyszyła nam liczba π. Oczywiście zawsze można złapać za sznurek czy miarkę i bez problemu podać obwód wybranej figury. I wielu przypadkach byłoby to zapewne słuszne posunięcie. Niestety, nie byłby to pomiar dokładny.

 Czym jest π?

Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. 

Wynik ten nie zależy od rozmiaru koła. Małe czy duże koło, stosunek zawsze jest taki sam i wynosi właśnie π.
Najczęściej stosowane przybliżenia liczby π to: π jest liczbą niewymierną i przestępną.
Jej rozwinięcie dziesiętne zachowuje się „byle jak”, nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.
Jej nazwa pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa περίμετρονperimetron (obwód), lecz znana jest także jako stała Archimedesa czy też ludolfina.
π jest także szesnastą literą greckiego alfabetu.

 Historia

 Choć sam symbol π używany (w znaczeniu opisanym powyżej) jest od ponad 300 lat, to sam jej wiek określa się aż na przeszło 4.000 lat. Już w starożytności zauważono, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego.

W ok. 2.000 r.p.n.e. Babilończycy zauważyli, że obwód koła niewiele różni się od obwodu sześciokąta wpisanego w niego, co dało im przybliżoną wartość 3,125.

W Starym Testamencie znajdziemy fragment:

„Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięcu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci”,

który wksazuje na przybliżenie do liczby 3. 

Nieco później, w III w.p.n.e. Archimedes podał oszacowanie już do dwóch miejsc po przecinku – 3,14 oraz określił przedział, w którym mieści się ta liczba.    Przez kolejne lata podawano coraz lepsze przybliżenia. W 1706r. walijski matematyk William wprowadził symbol π na oznaczenie liczby pi.  W 1949 roku po praz pierwszy do obliczeń użyto komputera. Dziś (14.03.2019r.) podano w mediach informację, że Emma Haruka Iwao, pracownica Google’a z Japonii, obliczyła π z dokładnością ok. 31 bilionów miejsc po przecinku. Tym samym pobiła rekord Petera Trueba z listopada 2016 r., który uzyskał dokładność ok. 22,5 biliona miejsc po przecinku. Iwao wykorzystała chmurę obliczeniową swojej firmy i 25 maszyn wirtualnych. Obliczenia potrwały 121 dni, a sama liczba zajęła 170 TB.

  Właściwie dlaczego oblicza się tak duże rozwinięcie π?

Powstaje również pytanie po co oblicza się z taką dokładnością rozwinięcie dziesiętne liczby π? Zwykle wystarcza nam znajomość 3 do 8 (w obliczeniach astronomicznych, gdzie występują duże liczby powodujące duże błędy) miejsc dziesiętnych. 35 miejsc po przecinku liczby π potrzebujemy, do określenia obwodu Obserwowalnego Wszechświata z dokładnośćią rzędu 1 atomu wodoru. Zatem po co obliczać więcej? 

Z jednej strony to okazja do wykazania się dla firm produkujących komputerowe procesory, ale tak naprawdę istnieje wiele interesujących pytań dotyczących π. Czy istnieje jakaś prawidłowość w pojawianiu się kolejnych cyfr? Czy wszystkie cyfry pojawiają się tak samo często, nieskończenie wiele razy? Czy w rozwinięciu dziesiętnym π można odnaleźć wszystkie liczby naturalne?  

Hipotezami dotyczącymi jej rozwinięcia dziesiętnego zajmuje się wielu zawodowych matematyków i informatyków, a także amatorów-pasjonatów. Dokonali oni kilku ciekawych odkryć, np. po obejrzeniu miliona cyfr okazało się, że częstości występowania poszczególnych cyfr są bardzo bliskie 100 000 (co potwierdza hipotezę, że każda cyfra występuje w rozwinięciu π nieskończenie wiele razy, a gęstość jej występowania jest równa 1/10).

Gdzie występuje π ?

Pomimo, że natrualnym środowiskiej liczby π jest koło, to pojawia się nie tylko w geometrii, ale również w analizie matematycznej, teorii liczb, rachunku prawdopodobnieństwa czy statystyce. W świecie fizyki spotkać ją można choćby w słynnej Zasadzie Nieoznaczoności Heisenberga czy w równaniach Ogólnej Teorii Względności Einsteina.

Na liczbę π natkniemy się także w innych dyscyplinach naukowych, jak informatyka, architektura czy budownictwo.

 π jest podstawą bardzo wielu wzorów i problemów.

Kwadratura koła

W związku z liczbą π należy wspomnieć także o jednym z najstarszych problemów matematycznych, tzw. kwadraturze koła.

Idea polega na tym, aby skonstruować kwadrat, którego powierzchnia byłaby równa powierzchni danego koła, używając tylko i wyłącznie cyrkla oraz linijki. Zadanie wymaga wyznaczenia odcinka o długości π. Na przestrzeni dwóch tysięcy lat uczeni podejmowali różne próby rozwiązania tego problemu. Dziś wiemy, że żadna liczba niewymierna przestępna nie może w ten sposób powstać, a π jest właśnie taką liczbą. Niemniej jednak, zadanie to posiada wiele ciekawych rozwiązań przybliżonych. Zaś samo wyrażenie kwadratura koła stało się synonimem problemów niemających rozwiązania.  

Ciekawostki

Piramida Cheopsa stała się obiektem wielu fantastycznych teorii pseudonaukowych, jednak trzeba jej przyznać, że matematycznie pozostaje wielką zagadką. Okazuje się bowiem, że stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości piramidy Cheopsa jest właśnie liczbą π przybliżoną do czterech miejsc po przecinku. Obwód podstawy piramidy Cheopsa podzielony przez podwójną wysokość daje liczbę π. Nie muszę chyba wspominać, że piramida została zbudowana ok. 2560 lat p.n.e. 

Liczba π znalazła swoje miejsce również w kulturze. W celu ułatwienia zapamiętania kolejnych cyfr na całym świecie tworzy się różne wiersze i rymowanki. Stała się także tematem jednego z wierszy Wisławy Szymborskiej.

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe
pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem,
osiem dziewięć obliczeniem,
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie. (…)

 Wisława Szymborska „Liczba Pi”

Ponadto pojawiła się w filmie Darrena Aronofsky’ego zatytułowanym właśnie π.  Stanowi również tytuł filmu Yanna Martela „Życie Pi”.

„I tak znalazłem schronienie w tej greckiej, nieuchwytnej, niewymiernej liczbie Pi, za pomocą której uczeni usiłują objaśnić kosmos”

Yann Martel „Życie Pi”

Postać o imieniu Pi była też jednym z bohaterów polskiego programu edukacyjnego Przybysze z Matplanety emitowanego w latach 80. XX wieku.

Z liczbą π związane są także rekordy Guinnessa w zapamiętywaniu cyfr po przecinku. W 2006 roku japończyk Akiry Haraguchi podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku.

 

14 marca, to nie tylko święto liczby Pi. Tego dnia urodził się Albert Einstein.

14 marca 2018 roku zmarł wybitny kosmolog, astrofizyk Stephen Hawking.

 Nie pozostaje mi zatem nic innego, jak liczbie π w dniu jej święta życzyć tyle lat, ile ma cyfr po przecinku! 🙂

Zobacz także

Komentarze

comments